Il est impératif d'avoir les mains propres pour dire la brakha.
S'il faut du savon pour cela, le savon sera indispensable.
Cependant, avoir recours à un kli pour se verser l'eau 3 fois et de manière alternée n'est pas indispensable.
On peut simplement se laver les mains avec de l'eau (et du savon si nécessaire) en les mettant sous le robinet, sans utiliser de kli, comme l'écrit
Rav Méir Mazouz dans Mekor Nééman (§XVI), voir plus de détails ici:
http://www.techouvot.com/1_ou_2_netilat-vt18255.html?highlight=
Il y a des ma'hmirim qui imposent un kli (etc.) comme le faisait le '
Hazon Ish, mais selon
rav Mazouz il ne faut pas utiliser le kli après le passage aux WC.