Les femmes qui ont l'habitude de s'abstenir de travaux à Rosh 'hodesh, ont le droit de maintenir cette coutume, c'est un minhag. c'est ce que nous dit le Yeroushalmi (Taanit §1), voir aussi Pirkei derabbi Eliezer (§44), Tour et Shou'han Arou'h (o"h §417).
Généralement on ne parle que des travaux difficiles, comme coudre, laver, repasser... mais cuisiner est permis.
Une femme qui le ferait pour sa parnassa aurait le droit -à Rosh 'hodesh- de repasser, laver, coudre... (Aro(u)'h Ashoul'han o"h §417, 10).
Aussi, certains considèrent qu'un travail la nuit de rosh 'hodesh est autorisé car seul le travail "bepoumbi" est prohibé. -Yaabtes dans Mor ouktsia (§417)
Mais le Biour Ala'ha (fin de §417) écrit que nous ne suivons pas ce Yaabets. (eini yodéa im naagou kidvarav - qui a été compris par les poskim comme lo naagou kidvarav)
Concernant le lavage à l'aide d'une machine à laver, c'est discuté car c'est plus facile qu'à la main.
Le Ali'hot Bat Israel (§16, note 4) interdit malgré tout.
Le Yalkout Yossef (shabbat V, p.251) permet et se déclare en désaccord avec le Ali'hot bat Israel.
Il cite à l'appui le Rivevot Ephraïm (III, §298) et le Shevet Akehati (I, §135) qui permettent. Ce dernier se basant sur le Yaabets dans Mor Ouktsia (§417) qui écrit que les travaux faciles sont permis.
Toutefois, il semble qu'il faille souligner que ce Yaabets non plus ne soit pas admis par le même Biour Ala'ha (fin de §417), or le Yalkout Yossef lui-même (shabbat V, p.250) admettait de se plier au Biour ala'ha en question concernant les travaux la nuit.
Et pourtant, des deux koulot du Yaabets, l'une n'est pas plus remise en question que l'autre par le Biour Ala'ha.
Si on accepte l'avis du Biour Ala'ha sur l'une, il est délicat de ne pas en tenir compte pour l'autre.
Cela peut s'expliquer par le fait qu'il y à d'autres mekilim pour la machine à laver, mais on ne peut pas utiliser ce Yaabets comme si de rien n'était.
De plus, d'un autre côté, il y a aussi des poskim qui interdisent la machine à laver, comme le rav Wozner dans Shevet Alévy (VI, §50)...
Le YY cite encore le Birour ala'ha (§417) qui permet.
Cependant celui-ci ne permet que lorsqu'il y a deux jours de rosh 'hodesh.
Ce qui est encore plus étrange, c'est que le Yalkout Yossef lui-même écrit qu'il a demandé à son père le ROY et la réponse était qu'on peut permettre (de mettre une machine en route) bimekom tsoré'h (en cas de nécessité).
Ce qui signifie donc qu'il ne convient pas de permettre a priori.
Le Yalkout Yossef est donc en léger désaccord avec son père, mais ne semble pas en tenir compte puisqu'il le cite comme s'ils partageaient la même opinion.
Bref, en guise de conclusion, je penche plus pour l'opinion de rav Ovadia Yossef que pour celle de son fils le Yalkout Yossef.
Je dirais donc que si l'on peut attendre un peu, c'est mieux, mais si on a besoin de lancer la machine (comme c'est la cas dans une famille nombreuse où l'on doit faire plusieurs machines par jour), ce sera autorisé.
Cependant, j'ajouterais encore que même dans ce cas, si la femme peut demander à son mari (ou son fils) de s'en charger, c'est encore mieux.