Non.
Vous ne devez pas lui donner un sac à dos à porter lorsque vous sortez le shabbat, même s'il ne contient qu'un biberon assurément destiné à l'enfant.
Il est interdit de faire qu'un enfant transgresse la halakha, même sur un interdit "miderabanan" -si ce n'est en cas de "grande perte" où il est autorisé d'enfreindre une loi d'ordre rabbinique par un enfant. Mais cette dérogation ne devra pas être répétitive, ce n'est autorisé qu'en cas exceptionnel et extraordinaire.
Les plus permissifs acceptent aussi -lorsqu'on ne trouve pas un non-juif, de demander à un enfant juif (non bar-mitsva) -de manière occasionnelle- d'enfreindre le shabbat dans le cadre d'un "shvout deshvout bimkom mitsva" pour lequel on aurait le droit de demander à un non-juif de le faire. (exp: un interdit miderabanan lorsqu'il est nécessaire pour le Oneg, ou bimkom mitsva, ou pour éviter une grande perte.)
Voir Taz (§346, sk.6) concernant demander à un enfant d'amener la clé de la synagogue (voir aussi Pri Megadim, Mishbetsot Zahav ad loc).
Voir aussi Shoul'han Aroukh Harav (§343, 8),
Tiferet Israel (Pti'ha de Erouvin),
Shoel Oumeshiv (Mahad. 3, tome 1, §117),
Erets Tsvi (§75),
Meshiv Davar (I, §20).
Concernant votre cas en particulier, puisque l'interdit shabbatique est lié au transport à l'extérieur, il y a lieu de mentionner la position du 'Hidoushei Harim (Shout Harim o"h §3) selon laquelle il faut noter que nos rues ne sont pas (en tout cas pas souvent) vraiment ce que la Torah appelle un Reshout Harabim (mais plutôt un Karmelit) et qu'enfreindre l'interdit (selon la Torah) de sortir un objet et de le transporter à l'extérieur suppose l'intention (dès le départ) de déposer l'objet après son transport, il en résulte que lorsqu'un enfant (dont l'intention ne saurait être prise en compte) sort un objet, on est bien loin du issour torah.
Toutefois, même si l'on retrouve d'autres poskim mentionnant cette idée, comme le Shoel Oumeshiv (Mahad. 3, tome 2, §53) et le Shout Pnei Mevin (o"h §240), les décisionnaires ne la suivent pas, si ce n'est en cas de très grand besoin.
Mais il convient de rappeler qu'avant guerre, plusieurs rabanim se reposaient sur cette opinion et se montraient très permissifs (il y a une photo assez connue, prise à shabbat -par un non-juif- où l'on voit des 'hassidim avec leur Rabbi et un enfant -assez grand- qui porte dans la rue...).
Pourtant les poskim de nos jours repoussent tous une telle attitude.
Il est vrai que vous parlez de choses nécessaires pour l'enfant lui-même (comme son biberon ou encore le cas très classique de la tétine) et nous trouvons à ce sujet une ma'hloket Rishonim, le Rashba et le Ran cités par le Biour Halakha (Midivrei Sofrim) sont d'avis qu'il sera autorisé de donner à l'enfant son biberon avant de sortir, puisque c'est bien pour l'enfant et non pour l'adulte. Mais le Shoul'han Aroukh retient l'avis opposé (Rivash) qui interdit systématiquement.
Il est difficile de pointer ce que sera la halakha en finale, mais on peut dire que les Sfaradim suivront a priori l'avis du Shoul'han Aroukh sur ce point (et interdiront), voir ROY dans Leviat 'Hen (§343, 128) mais pourront se baser sur les avis permissifs en cas de besoin et de manière occasionnelle (Kaf Ha'haim §343, sk.127) .
Pour ce qui est des Ashkenazim, on trouve plus de meikilim sur ce point, comme R. Akiva Eiger (Tshouvot I, §15 cité par le Biour Halakha), le Taz (§346, sk.6), le shout Lehorot Natan (VI, §21), le Biour Halakha (§343 d"h Midivrei Sofrim) et le Shoel Oumeshiv (Mahad.3 §117).
Le Shoul'han Aroukh Harav (§343, 7) aussi retiendra l'opinion permissive du Rashba.
Toutefois, on conseille de n'y avoir recours qu'occasionnellement, voir Shout 'Hatam Sofer (VI, §13) qui n'envisage une telle permission que "derekh Akray" et son fils le Ktav Sofer (§47) indique qu'il ne convient pas d'enseigner la halakha ainsi, mais qu'on ne peut en vouloir à celui qui le fait et le Shout Maharam Shik (I, §173) qui va un peu dans ce sens.
Mais il y a bien entendu des poskim interdisant (à l'instar du Shoul'han Aroukh), par exemple:
Levoushei Mordekhai (I, §61)
Shout Maharshag (II, §24)
Shout Mahari Aszod (§84)
Arougat Habossem (I, §69)
Mishna Broura (§362, sk.44) (cependant, dans son Biour Halakha §344 -cité plus haut- il tend plutôt à être meikel...)
[Note: Attention, même les avis permissifs s'accordent à interdire lorsqu'il s'agît d'un issour min hatorah. Et il faut souligner que certaines de nos rues, comme parfois les grandes artères dans les grandes villes, ont le statut d'un Reshout Harabim, y porter un objet pendant shabbat équivaut donc à un issour min hatorah.]
Bref, selon tout cela, il ressort que vous ne devez pas donner un sac à dos à votre enfant de moins de deux ans avant de sortir le shabbat.
Néanmoins, s'il prend de lui-même ce dont il a besoin, vous n'avez pas besoin de le lui interdire.
Le cas le plus classique, c'est la tétine.
Mais il en va de même pour ceux qui distribuent des bonbons à la synagogue, on ne devra pas donner des bonbons si l'on sait que l'enfant va sortir avec dans la rue, par contre, s'il prend un bonbon avec lui en quittant la maison, on n'aura pas à lui dire de s'en abstenir.
CONCLUSION: c'est interdit de le lui donner, mais si votre enfant prend de lui-même son biberon avec lui, vous pouvez le laisser faire (mais s'il l'abandonne au parc, vous ne pourrez pas lui dire de le ramener).
